Cette question posée (1) il y a quelques temps par des wikipédistes semble au premier abord pouvoir trouver une réponse simple; en réalité, il n'en est rien si l'on recherche une réponse précise et, de plus, les différentes notions que l'on va devoir prendre en considération évoluent dans le temps et aussi selon le point de vue que l’on adopte. Voyons de plus près quels sont les paramètres à prendre en compte pour déterminer une surface départementale.

Les surfaces issues du cadastre

La première superficie pouvant être mesurée est celle de la parcelle de terrain (polygone quelconque) dont on mesure les côtés avec une chaîne d'arpenteur et, par quelques savantes opérations, on calcule finalement la surface. Cette surface est « vraie », calculée à partir de mesures non réduites à l’horizontale ni au niveau 0 et non projetées.

Les superficies cadastrales ont en général été calculées à partir des levés cadastraux dont les distances mesurées sur le terrain ont été, selon la méthode officielle, réduites à l’horizontale et au niveau 0. Les surfaces de chaque parcelle ont été calculées à partir de ces dessins à l’échelle pour produire ce qui a été dénommé les « contenances » cadastrales qui restent la référence actuelle sauf lorsque des bornages ultérieurs plus précis ont été effectués.

La somme des surfaces des parcelles pouvant être effectuée à partir des contenances des parcelles cadastrées représente alors une quantité toujours inférieure à la « vraie » surface telle qu’on peut la mesurer sur le terrain. Il faut noter qu’une part importante du domaine public intérieur à l’emprise d’un département n’est pas cadastrée, ce qui conduit à l’idée simple que la surface d’un département n’est pas la somme des surfaces des parcelles cadastrées. Cette partie non cadastrée du territoire départemental est même très majoritaire dans le cas de la Guyane où seule une frange littorale et fluviale a fait l’objet de délimitations foncières.

Les dessins permettant d’inclure les surfaces non cadastrées dans le calcul d’une emprise départementale sont les sections cadastrales, ou divisions cadastrales selon le vocabulaire adopté par l’IGN pour la BD Parcellaire, dont le pourtour inclut l’ensemble des surfaces cadastrées ou non cadastrées situées à l’intérieur des limites communales, ce qui élimine l’inconvénient précédent de non prise en compte du domaine public. C’est la somme départementale de ces surfaces « hors eaux » des sections qui semble avoir été prise en compte pour une première détermination des surfaces départementales par la DGI dans les années 1970 et reprises par l’INSEE ; ces valeurs constituent un des paramètres (d’importance relativement faible) de détermination de la dotation globale de fonctionnement des collectivités locales. Ces surfaces n’ont pas été actualisées en tenant compte des modifications de limites intervenues depuis cette date et sont encore diffusées par l’INSEE dans ses fichiers les plus détaillés .

Elles ont aussi en général été reprises comme référence dans les produits RGC et GeoFLA de l’IGN. Dans le cas de GeoFLA, la valeur de la surface portée en attribut n’est pas celle qui peut être recalculée par un SIG en utilisant les limites fournies. En effet, celles-ci sont très simplifiées et n’ont pour but que de fournir un support à la confection de cartographies de données numériques (résultats d’élections, statistiques,…) géolocalisées. De plus, le système de référence de coordonnées utilisé est en général un système cartographique, ce qui peut encore éloigner le résultat calculé de la surface « vraie » mesurée sur le terrain. Cette différence est la conséquence des opérations qui transforment une surface mesurée en pente sur le vrai terrain à une valeur horizontale, ramenée à l’altitude nulle et transformée selon la projection choisie (on se souvient de l’image de la peau d’orange qu’il faut écraser sur la table, comme une portion de surface du globe que l’on veut imprimer sur du papier). On voit donc qu’à partir d’une question apparemment facile, il est nécessaire, pour bien y répondre, d’aborder des notions plus complexes. Voyons maintenant de plus près ce qu’il en est au sujet de la mesure de la Terre et de ses représentations cartographiques.

La mesure de la Terre

Avant la cartographie vient la nécessité de mesurer la réalité des formes de la Terre. Il s’agit là d’une science appliquée, la géodésie, qui s’appuie sur les mathématiques, l’astronomie, la mécanique céleste, la mesure du temps, enfin la géophysique et l’observation de la dérive des continents et de tous les mouvements de l’écorce terrestre. On trouvera les informations essentielles et les bonnes références sur le site de l’IGN dédié à la géodésie : Il est juste nécessaire à ce stade de rappeler que la Terre est un solide déformable de forme quelconque dont la représentation est un géoïde si l’on considère les surfaces équipotentielles (surfaces sur lesquelles la force de gravité est égale) ou un ellipsoïde si l’on souhaite une représentation mathématique simplifiée approchant au mieux la vraie forme de la Terre.

Les représentations cartographiques

Pour bien comprendre la nature de ces surfaces cartographiques, une petite révision sur les projections cartographiques s’impose. Il existe quelques bonnes sources en la matière : côté IGN, l’article de Patrick Sillard (pdf) propose une approche claire et complète sur les projections cartographiques ; il est destiné à tous mais propose aussi en annexe les premières pistes réservées aux mathématiciens. On retiendra surtout l’ouvrage de John P. Snyder (Map projections - A working manual (Washington USGS 1987) qui est la référence en la matière. Enfin d’autres références citées en fin de billet peuvent être intéressantes pour aller plus loin ou pour une consultation plus rapide ou plus ludique. La mesure de la surface n'est qu'un des enjeux importants portant sur la recherche des meilleures représentations cartographiques. L'exposition de la BnF à ce sujet est là pour rappeler ces différents aspects :

Pour l’objet qui nous intéresse, on retiendra surtout qu’il existe une différence fondamentale entre : - les projections « équivalentes » qui conservent les surfaces, modulo la valeur de l’échelle, et donc les rapports des surfaces entre elles dans un même document, - les projections « conformes » qui conservent les valeurs angulaires entre directions, et ont de ce fait été utilisées par les navigateurs, les artilleurs et autres métiers « de plein-air », et permettent également les assemblages pour de grandes étendues cartographiées, mais ne conservent pas les surfaces. Les cartographes ont bien sûr cherché à définir des projections réunissant le maximum d’avantage et le minimum d’inconvénients, pour la zone qu’ils avaient à cartographier. C’est ainsi que le consensus s’est opéré sur l’UTM (Universal Transverse Mercator) pour les régions intertropicales, les projections de type Lambert (coniques conformes) pour les régions de plus hautes latitudes comme l’Europe et la France, ou une stéréographique polaire pour les régions polaire. Pour chaque zone considérée, ces projections conservent strictement les angles en limitant au mieux les déformations.

Les surfaces calculées ordinairement par les SIG

La surface d’une emprise calculée par un système d’information géographique (SIG) dépend donc de la projection qui est utilisée pour effectuer ce calcul. Certains SIG savent transformer cette projection à la volée pour effectuer ce calcul, d’autres non, il importe donc avant tout calcul de bien vérifier, d’une part quel est le système de référence de coordonnées des données utilisées, d’autre part de bien connaître et mettre en œuvre les fonctions de transformation du SIG utilisé quand elles existent.

Cette surface calculée dépend bien sûr également de la précision de la détermination de cette emprise, ou plus exactement de la précision de détermination de son pourtour. Cette précision dépend avant tout de facteurs humains, du choix effectué sur le terrain ou sur plan par des responsables qui positionnent l’emplacement d’une borne ou tracent un trait sur une carte. Elle dépend aussi de la précision de mesure des instruments utilisés pour les levers, les déterminations les plus anciennes datant en France du premier cadastre napoléonien au début du XIX° siècle. En première approche, la somme des superficies des objets correspondant aux communes dans les produits GEOFLA, BDCARTO, BDTOPO et BDPARCELLAIRE donne une première estimation, plus précise pour les deux derniers produits. On peut également utiliser la somme des superficies des communes répertoriées dans le RGC, reprises également sous forme attributaire par GEOFLA, alors que l'INSEE indique pour la Gironde 9975,6 km2.

A titre d’exemple, voici les valeurs de surface de la Gironde en km2 récemment calculés et affectées de différents facteurs d’incertitude (millésimes des différentes bases, imprécision du positionnement de la limite interdépartementale, prise en compte ou non de surfaces en eau : mer, étangs côtiers, estuaire de la Gironde, généralisation(2), etc).
GEOFLA (attributaire) : 10146.85
GEOFLA (géométrie) : 10143.20
BDUNI moyenne échelle (BDCarto calcul sur la géométrie en Lambert93 ) : 10149.77
BDUni grande échelle (BDTopo calcul sur la géométrie en Lambert93) : 10148.99
BD Parcellaire (calcul sur la géométrie en Lambert93): 10225.60
Surface publiée dans le RGC : 10000.14
On voit sur cet exemple fourni par le Géoportail avec l'aide de l'IGN et du SHOM dans l'estuaire de la Gironde que certains choix effectués peuvent influer de façon importante sur la valeur des surfaces à déterminer. ladm-Gironde

Un calcul rapide montre qu’une imprécision de 10 m sur un périmètre de 400 km donne un écart de 4 km2… Et 10 m, ça n’est pas beaucoup pour certains départements… De plus, il s’agit de superficies après projection. Voyons donc quelles sont les options possibles pour exprimer la valeur des superficies du terrain.

L'amélioration du calcul des superficies par les applications numériques

Les explications précédentes permettent de définir plusieurs méthodes pour calculer la surface d’une parcelle et la surface d’un ensemble :

  1. Conserver les « vraies » surfaces mesurées selon la pente et à leur altitude ; dans une application opérant en 3D, ceci revient à calculer les surfaces sur un modèle numérique de terrain, ce qui semble encore rarement implémenté dans les applications disponibles,
  2. Calculer la surface réduite à l’horizontale et au niveau zéro, selon la méthode pratiquée par le cadastre,
  3. Calculer la surface sur l’ellipsoïde de référence du système de coordonnées utilisé : c’est la méthode utilisée par le Géoportail dans l’option « 2D », l’ellipsoïde de référence en question étant « IAG GRS 1980 », ellipsoïde de référence pour les systèmes de coordonnées ETRS89, RGF93 et les projections Lambert93,
  4. Calculer la surface à partir des coordonnées projetées ; ce type de calcul fournit un résultat dépendant des paramètres de la projection ce qui, sauf pour les projections « équivalentes », l’éloigne de la réalité du terrain.

Il faut noter que les calculs implémentés pour le Géoportail sont encore peu –ou pas- disponibles dans les produits SIG professionnels, ce qui montre une marge de progrès à faire en la matière.

De quelles superficies parle-t-on ?

Compte-tenu du type d’emprise considéré, les difficultés sont de natures différentes et certaines approximations de calcul n’auront pas les mêmes effets :

  1. Pour la surface d’une simple parcelle, on peut considérer que seul le calcul de la surface vraie mesurée sur le terrain, en pente et à son altitude, diffère vraiment des autres méthodes qui, compte-tenu des faibles valeurs considérées, fourniront des résultats sensiblement égaux.
  2. Pour la surface d’une commune, c’est en général précision de la détermination de la limite de l’emprise qui sera déterminante. En fonction de la taille de la commune considérée, chacune des méthodes conduira à un résultat différent.
  3. Pour la surface d’un département, toutes les options de calcul mèneront à des résultats sensiblement différents. De plus, selon qu’un département est vu comme la somme des emprises administratives des communes, ou l’ensemble du territoire sur lequel les maires ont une responsabilité, ou encore l’ensemble du « territoire vécu », intégrant donc notamment l’estran et les zones de baignade (ceci est particulièrement vrai dans le cas de la Gironde), la définition de l’emprise à calculer sera très différente. Selon le choix effectué, la définition du « trait de côte », en principe assimilé à la laisse des plus hautes mers (cf SHOM et IGN pour le trait de côte Histolitt), aura ou non un impact.

Conclusion

Voilà donc pourquoi ce n’est « pas si simple », mais voilà aussi quelques clés qui permettront à chacun de s’y retrouver et peut-être aussi de permettre l’élaboration d’un consensus sur une valeur stable de ces emprises officielles qui échappent encore à une trop grande rigueur administrative.

(1) Discussion “Gironde” de Wikipédia
(2) la « généralisation » en cartographie est une opération qui consiste à simplifier la description des objets géographiques ou à déplacer légèrement ces objets par rapport aux objets qui l’environnent dans le but de conserver une représentation lisible à une échelle inférieure.

Références

Adrien Germain : Traité des projections des cartes géographiques; représentation plane de la sphère et du sphéroïde (1866)
Yves Guermont : Conférence du 9 avril 2000 dans le cadre de l'université de tous les savoirs
Chamberlain, Robert G.Duquette, William H. : Some algorithms for polygons on a sphere
Wolfram Map projections
Wikipedia Projection cartographique
spatialreference : http://spatialreference.org/about/
Pour rire : Projections et humour anglo-saxon
Pour aller vite : Projection transitions